设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上的最小值为-1.证明:存在ξ∈(0,1),使得fn(ξ)≥8。

admin2021-01-31  53

问题 设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上的最小值为-1.证明:存在ξ∈(0,1),使得fn(ξ)≥8。

选项

答案因为f(x)在[0,1]上连续,所以f(x)在[0,1]上取到最小值和最大值,又因为f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上的最小值为-1,所以存在C∈(o,1),使得fC=-1,f’C=0,由勒公式得 [*] 当C∈(0,1/2]时,因为C2≤1/4,所以f"(ξ1)=2/C2≥8,此时取ξ=ξ1; 当C∈[1/2,1)时,因为(1-C)2≤1/4,所以f"(ξ1)=2/(1-C)2≥8,此时取ξ=ξ2

解析
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