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设有参数方程 0≤t≤π. (Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(x),并求定义域; (Ⅱ)讨论y=y(x)的可导性与单调性; (Ⅲ)讨论y=y(x)的凹凸性.
设有参数方程 0≤t≤π. (Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(x),并求定义域; (Ⅱ)讨论y=y(x)的可导性与单调性; (Ⅲ)讨论y=y(x)的凹凸性.
admin
2020-03-16
70
问题
设有参数方程
0≤t≤π.
(Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(x),并求定义域;
(Ⅱ)讨论y=y(x)的可导性与单调性;
(Ⅲ)讨论y=y(x)的凹凸性.
选项
答案
(Ⅰ)[*]=3cos
2
t(-sint)≤0,(t∈[0,π]),仅当t=0,[*],π时为零x是t的单调[*](减)函数,[*]反函数t=t(x)[*]y=sin
3
t(x)=y(x),x∈[-1,1]. (Ⅱ)记 [*] 当t≠0,[*]反函数t=t(x)可导[*]y=y(x)可导 [*] 注意y=y(x)在[-1,1]连续,t与x的对应关系: [*] 于是 [*] 0≤x≤1时y(x)单调下降,-1≤x≤0时y(x)单调上升. (Ⅲ)由 [*] y=y(x)在[-1,0],[0,1]均是凹的.y=y(x)的图形如图4.2. [*]
解析
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考研数学二
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