设有参数方程 0≤t≤π． (Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(x)，并求定义域； (Ⅱ)讨论y=y(x)的可导性与单调性； (Ⅲ)讨论y=y(x)的凹凸性．

admin2020-03-16 51

问题设有参数方程

0≤t≤π．
(Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(x)，并求定义域；
(Ⅱ)讨论y=y(x)的可导性与单调性；
(Ⅲ)讨论y=y(x)的凹凸性．

选项

答案(Ⅰ)[*]=3cos²t(-sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t=0，[*]，π时为零x是t的单调[*](减)函数，[*]反函数t=t(x)[*]y=sin³t(x)=y(x)，x∈[-1，1]． (Ⅱ)记 [*] 当t≠0，[*]反函数t=t(x)可导[*]y=y(x)可导 [*] 注意y=y(x)在[-1，1]连续，t与x的对应关系： [*] 于是 [*] 0≤x≤1时y(x)单调下降，-1≤x≤0时y(x)单调上升． (Ⅲ)由 [*] y=y(x)在[-1，0]，[0，1]均是凹的．y=y(x)的图形如图4．2． [*]

解析

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考研数学二

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