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有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面,容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)。 求曲线x=φ(
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面,容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)。 求曲线x=φ(
admin
2019-06-28
55
问题
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面,容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求,当以3m
3
/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm
2
/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)。
求曲线x=φ(y)的方程。
选项
答案
液面的高度为Y时,液体的体积为 V(t)=π∫
0
y
φ
2
(μ)dμ, 由题设,以3m
3
/min的速率向容器内注入液体,得 [*][π∫
0
y
φ
2
(μ)dμ]=3, 所以 π∫
0
y
φ
2
(μ)dμ=3t =3φ
2
(y)一12, 上式两边对y求导,得 πφ
2
(y)=6φ(y)φ
’
(y), 即 [*]φ(y), 解此微分方程,得φ(y)=[*],其中C为任意常数。由φ(0)=2知C=2,故所求曲线方程为 x=[*]。
解析
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0
考研数学二
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