2. 考研
  3. 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。 求曲线x=φ(

有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。 求曲线x=φ(

admin2019-06-28  53
问题 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。
求曲线x=φ(y)的方程。
选项
答案液面的高度为Y时，液体的体积为 V(t)=π∫0yφ2(μ)dμ， 由题设，以3m3／min的速率向容器内注入液体，得 [*][π∫0yφ2(μ)dμ]=3， 所以 π∫0yφ2(μ)dμ=3t =3φ2(y)一12， 上式两边对y求导，得 πφ2(y)=6φ(y)φ’(y)， 即 [*]φ(y)， 解此微分方程，得φ(y)=[*]，其中C为任意常数。由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为 x=[*]。
解析
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考研数学二

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