设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

admin2018-04-14 95

问题设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

选项

答案令y’=p，则y"=p’，代入微分方程，当x＞0时，p’－[*]p=－2／x，解得 y’=p=e^∫1／xdx[∫(－2／x)e^{－∫1／xdx}dx+C₁]=2+C₁x，则 y=2x+[*]C₁x²+C₂(x＞0)，其中C₁，C₂为任意常数。由已知y(0)=0，有C₂=0，于是y=2x+[*]C₁x²。由于 2=∫₀¹y(x)dx=∫₀¹(2x+[*]C₁x²)dx=1+[*] 所以C₁=6，故y=2x+3x²(x≥0)。由于x=1／3([*]－1)，0≤y≤5，故所求旋转体的体积为 V=5π－∫₀⁵πx²dy=5π－∫₀⁵π．1／9([*]－1)²dy [*]

解析

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考研数学二

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设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

考研数学二

求微分方程yy"+y’2=0满足初始条件y(1)=y’(1)=1的特解。

已知函数f(x，y)在点(0，0)某邻域内连续，且，则

设已知线性方程组Ax=6存在2个不同的解。求λ．a；

设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，P+2)T，α4=(-2，-6，10，p)T．p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2,α3，α4线性表出.

求解下列微分方程：(1)xyˊ－y[ln(xy)－1]＝0；(3)(1＋ex)yyˊ＝ex．满足y｜x＝1＝1的特解．

(2004年试题，一)微分方程(y+x2)dx一2xdy=0满足的特解为_________．

(2010年试题，2)设y1，y1是一阶非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则()．

(2005年试题，17)如图1—3—1所示，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)，设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

(2007年试题，一)如图1—3—6所示，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周．设则下列结论正确的是()．

(08年)设函数y=y(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问题的解，求

患者女性，45岁，急性阑尾炎穿孔，腹膜炎，在观察中下列哪项护理不妥

肺炎球菌性肺炎首选的抗菌药是

MRI图像重建所特有的重建法是

下列不属于化学消毒剂使用方法的是

发行人运行规范的条件包括最近几个月内不能受到中国证监会行政处罚，或者最近几个月内不能受到证券交易所公开谴责?（　　　）。

目标管理为每个成员制定了明确的责任和任务，并对完成这些责任和任务规定了时间、数量、质量等具体要求，是()的管理方法。

()是指硬件设备的不同组合方式。

投资于国库券时可不必考虑的风险是()。

教师的劳动具有多样性，其中教师开展教学工作的中心环节是()。

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵A。

设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

考研数学二

求微分方程yy"+y’2=0满足初始条件y(1)=y’(1)=1的特解。

已知函数f(x，y)在点(0，0)某邻域内连续，且，则

设已知线性方程组Ax=6存在2个不同的解。求λ．a；

设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，P+2)T，α4=(-2，-6，10，p)T．p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2,α3，α4线性表出.

求解下列微分方程：(1)xyˊ－y[ln(xy)－1]＝0；(3)(1＋ex)yyˊ＝ex．满足y｜x＝1＝1的特解．

(2004年试题，一)微分方程(y+x2)dx一2xdy=0满足的特解为_________．

(2010年试题，2)设y1，y1是一阶非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则()．

(2005年试题，17)如图1—3—1所示，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)，设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

(2007年试题，一)如图1—3—6所示，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周．设则下列结论正确的是()．

(08年)设函数y=y(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问题的解，求

患者女性，45岁，急性阑尾炎穿孔，腹膜炎，在观察中下列哪项护理不妥

肺炎球菌性肺炎首选的抗菌药是

MRI图像重建所特有的重建法是

下列不属于化学消毒剂使用方法的是

发行人运行规范的条件包括最近几个月内不能受到中国证监会行政处罚，或者最近几个月内不能受到证券交易所公开谴责?（ ）。

目标管理为每个成员制定了明确的责任和任务，并对完成这些责任和任务规定了时间、数量、质量等具体要求，是()的管理方法。

()是指硬件设备的不同组合方式。

投资于国库券时可不必考虑的风险是()。

教师的劳动具有多样性，其中教师开展教学工作的中心环节是()。

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵A。

发行人运行规范的条件包括最近几个月内不能受到中国证监会行政处罚，或者最近几个月内不能受到证券交易所公开谴责?（　　　）。