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设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
admin
2018-04-14
75
问题
设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
选项
答案
令y’=p，则y"=p’，代入微分方程，当x＞0时，p’－[*]p=－2／x，解得 y’=p=e
∫1／xdx
[∫(－2／x)e
－∫1／xdx
dx+C
1
]=2+C
1
x， 则 y=2x+[*]C
1
x
2
+C
2
(x＞0)，其中C
1
，C
2
为任意常数。 由已知y(0)=0，有C
2
=0，于是y=2x+[*]C
1
x
2
。 由于 2=∫
0
1
y(x)dx=∫
0
1
(2x+[*]C
1
x
2
)dx=1+[*] 所以C
1
=6，故y=2x+3x
2
(x≥0)。 由于x=1／3([*]－1)，0≤y≤5，故所求旋转体的体积为 V=5π－∫
0
5
πx
2
dy=5π－∫
0
5
π．1／9([*]－1)
2
dy [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qCk4777K
0
考研数学二
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