设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

admin2018-04-14 93

问题设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

选项

答案令y’=p，则y"=p’，代入微分方程，当x＞0时，p’－[*]p=－2／x，解得 y’=p=e^∫1／xdx[∫(－2／x)e^{－∫1／xdx}dx+C₁]=2+C₁x，则 y=2x+[*]C₁x²+C₂(x＞0)，其中C₁，C₂为任意常数。由已知y(0)=0，有C₂=0，于是y=2x+[*]C₁x²。由于 2=∫₀¹y(x)dx=∫₀¹(2x+[*]C₁x²)dx=1+[*] 所以C₁=6，故y=2x+3x²(x≥0)。由于x=1／3([*]－1)，0≤y≤5，故所求旋转体的体积为 V=5π－∫₀⁵πx²dy=5π－∫₀⁵π．1／9([*]－1)²dy [*]

解析

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考研数学二

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设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

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