2. 考研
  3. 设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

admin2018-04-14  118
问题 设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
选项
答案令y’=p，则y"=p’，代入微分方程，当x＞0时，p’－[*]p=－2／x，解得 y’=p=e∫1／xdx[∫(－2／x)e－∫1／xdxdx+C1]=2+C1x， 则 y=2x+[*]C1x2+C2(x＞0)，其中C1，C2为任意常数。 由已知y(0)=0，有C2=0，于是y=2x+[*]C1x2。 由于 2=∫01y(x)dx=∫01(2x+[*]C1x2)dx=1+[*] 所以C1=6，故y=2x+3x2(x≥0)。 由于x=1／3([*]－1)，0≤y≤5，故所求旋转体的体积为 V=5π－∫05πx2dy=5π－∫05π．1／9([*]－1)2dy [*]
解析
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考研数学二

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