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设A为3阶实对称矩阵,已知|A|=-12,A的三个特征值之和为1,又α=(1,0,-2)T是齐次线性方程组(A*-4E)X=0的一个解向量。 (1)求矩阵A; (2)求方程组(A*+6E)X=0的通解。
设A为3阶实对称矩阵,已知|A|=-12,A的三个特征值之和为1,又α=(1,0,-2)T是齐次线性方程组(A*-4E)X=0的一个解向量。 (1)求矩阵A; (2)求方程组(A*+6E)X=0的通解。
admin
2021-04-16
141
问题
设A为3阶实对称矩阵,已知|A|=-12,A的三个特征值之和为1,又α=(1,0,-2)
T
是齐次线性方程组(A
*
-4E)X=0的一个解向量。
(1)求矩阵A;
(2)求方程组(A
*
+6E)X=0的通解。
选项
答案
(1)求出A的全部特征值和特征向量,即可确定A,由α是(A
*
-4E)x=0的解向量,知(A
*
-4E)α=0,即 A
*
α=4α,上式左乘A,得AA
*
α=4Aa,即 |A|α=4Aα,Aα=|A|α/4=-3α,所以λ
3
=-3为A的特征值,对应的一个特征向量为 α
3
=α=(1,0,-2)
T
,设A的另外两个特征值为λ
1
,λ
2
,由已知得 λ
1
+λ
2
+λ
3
=1,λ
1
λ
2
λ
3
=|A|=-12,将λ
3
=-3代入上式,解得λ
1
=λ
2
=2,设λ
1
=λ
2
=2所对应的特征向量为x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,由A为实对称矩阵,得x
T
α
3
=0,即x
1
-2x
3
=0,解得一个基础解系为 α
1
=(0,1,0)
T
,α
2
=(2,0,1)
T
,由A(α
1
,α
2
,α
3
)=(λ
1
α
1
,λ
2
α
2
,λ
3
α
3
),得 A=(λ
1
α
1
,λ
2
α
2
,λ
3
α
3
)(α
1
,α
2
,α
3
)
-1
[*]。 (2)(A
*
+6E)x=0的基础解系,即为A
*
的特征值λ=-6所对应的线性无关的特征向量,而A
*
与A对应的特征向量相同,于是可利用A的特征向量来求(A
*
+6E)x=0的通解。 由(1)知,Aα
1
=2α
1
,Aα
2
=2α
2
,两式左乘A
*
,得A
*
Aα
1
=2A
*
α
1
,A
*
Aα
2
2A
*
α
2
,即A
*
α
1
=|A|α
1
/2=-6α
1
,A
*
α
2
=|A|α
2
/2=-6α
2
,移项得(A
*
+6E)α
1
=0,(A
*
+6E)α
2
=0, 所以,α
1
,α
2
是方程组(A
*
+6E)x=0的两个线性无关解向量,故通解为x=k
1
α
1
+k
2
α
2
(k
1
,k
2
为任意常数)。
解析
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考研数学三
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