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已知向量组α1,α2……αs(s≥2)线性无关， 设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1β2……βs的线性相关性．
已知向量组α1,α2……αs(s≥2)线性无关， 设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1β2……βs的线性相关性．
admin
2016-01-11
47
问题
已知向量组α
1
,α
2
……α
s
(s≥2)线性无关， 设β
1
=α
1
+α
2
，β
2
=α
2
+α
3
，…，β
s-1
=α
s-1
+α
s
，β
s
=α
s
+α
1
．试讨论向量组β
1
β
2
……β
s
的线性相关性．
选项
答案
若有一组数x
1
，x
2
，…，x
s
，使得x
1
β
1
+x
2
β
2
+…+x
s
β
s
=0，则x
1
(α
1
+α
2
)+x
2
(α
2
+α
3
)+…+x
s
(α
s
+α
1
)=0，即(x
1
+x
s
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
s-1
+x
s
)α
s
=0，由于α
1
,α
2
……α
s
线性无关，所以 [*] 方程组的系数行列式为 [*] 当s为奇数时，D=2≠0，方程组只有零解，所以x
1
=0，x
2
=0，…，x
s
=0，此时向量组β
1
β
2
……β
s
线性无关．当s为偶数时，D=0，方程组有非零解，即有不全为零的k
1
，k
2
，…，k
s
使得k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0，故向量组β
1
β
2
……β
s
，线性相关．
解析
本题考查向量组线性相关的概念与克拉默法则．要求考生掌握向量组β
1
β
2
……β
n
线性相关的充分必要条件是方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+…+x
n
β
n
=0有非零解．
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