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  3. 已知向量组α1,α2……αs(s≥2)线性无关， 设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1β2……βs的线性相关性．

已知向量组α1,α2……αs(s≥2)线性无关， 设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1β2……βs的线性相关性．

admin2016-01-11  20
问题 已知向量组α1,α2……αs(s≥2)线性无关， 设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1β2……βs的线性相关性．
选项
答案若有一组数x1，x2，…，xs，使得x1β1+x2β2+…+xsβs=0，则x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xs(αs+α1)=0，即(x1+xs)α1+(x1+x2)α2+…+(xs-1+xs)αs=0，由于α1,α2……αs线性无关，所以 [*] 方程组的系数行列式为 [*] 当s为奇数时，D=2≠0，方程组只有零解，所以x1=0，x2=0，…，xs=0，此时向量组β1β2……βs线性无关．当s为偶数时，D=0，方程组有非零解，即有不全为零的k1，k2，…，ks使得k1β1+k2β2+…+ksβs=0，故向量组β1β2……βs，线性相关．
解析 本题考查向量组线性相关的概念与克拉默法则．要求考生掌握向量组β1β2……βn线性相关的充分必要条件是方程组x1β1+x2β2+…+xnβn=0有非零解．
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考研数学二

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