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设A= (1)问k为何值时A可相似对角化? (2)此时作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.
设A= (1)问k为何值时A可相似对角化? (2)此时作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.
admin
2020-03-16
60
问题
设A=
(1)问k为何值时A可相似对角化?
(2)此时作可逆矩阵U,使得U
-1
AU是对角矩阵.
选项
答案
(1)求A的特征值: |λE-A|=[*]=(λ-1)(λ+1)
2
. 于是A的特征值为1(一重)和-1(二重). 要使A可对角化,只需看特征值-1.要满足3-r(A+E)=2,即r(A+E)=1, (A+E)=[*] 得k=0,A=[*] (2)求属于-1的两个线性无关的特征向量,即求(A+E)X=0的基础解系: A+E=[*] 得(A+E)X=0的同解方程组 2χ
1
+χ
2
-χ
3
=0 得基础解系η
1
=(1,0,2)
T
,η
2
=(0,1,1)
T
. 求属于1的一个特征向量,即求(A-E)X=0的一个非零解: A-E=[*] 得(A-E)X=0的同解方程组[*] 得解η
3
=(1,0,1)
T
. 令U=(η
1
,η
2
,η
3
),则 U
-1
AU=[*]
解析
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考研数学二
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