设A＝ (1)问k为何值时A可相似对角化? (2)此时作可逆矩阵U，使得U-1AU是对角矩阵．

admin2020-03-16 29

问题设A＝

(1)问k为何值时A可相似对角化?
(2)此时作可逆矩阵U，使得U^-1AU是对角矩阵．

选项

答案(1)求A的特征值：｜λE－A｜＝[*]＝(λ－1)(λ＋1)²．于是A的特征值为1(一重)和－1(二重)．要使A可对角化，只需看特征值－1．要满足3－r(A＋E)＝2，即r(A＋E)＝1， (A＋E)＝[*] 得k＝0，A＝[*] (2)求属于－1的两个线性无关的特征向量，即求(A＋E)X＝0的基础解系： A＋E＝[*] 得(A＋E)X＝0的同解方程组 2χ₁＋χ₂－χ₃＝0 得基础解系η₁＝(1，0，2)^T，η₂＝(0，1，1)^T．求属于1的一个特征向量，即求(A－E)X＝0的一个非零解： A－E＝[*] 得(A－E)X＝0的同解方程组[*] 得解η₃＝(1，0，1)^T．令U＝(η₁，η₂，η₃)，则 U^-1AU＝[*]

解析

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考研数学二

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