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  3. 设y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

设y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

admin2018-11-22  34
问题 设y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?
选项
答案(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y′(x)．将方程两边对x求导得 6y2y′－4yy′+2xy′+2y－2x=0， 整理得 y′=[*] ① (Ⅱ)由y′(x)=0及原方程确定驻点．由y′(x)=0得y=x代入原方程得 2x3－2x2+2xx－x2=1． 即 x3－x2+x3－1=0，(x－1)(2x2+x+1) =0． 仅有根x=1．当y=x=1时，3y2－2y+x≠0．因此求得驻点x=1． (Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y2－2y+x)y′=x－y． ② 将②式两边对x在x=1求导，注意y′(1)=0，y(1)=1，得 2y″(1)=1，y″(1)=[*]＞0． 故x=1是隐函数y(x)的极小值点．
解析
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考研数学一

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