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设曲线L过点(1,1),L上任意一点P(χ,y)处的切线交χ轴于点T,O为坐标原点,若{PT}=|OT|。试求曲线L的方程。
设曲线L过点(1,1),L上任意一点P(χ,y)处的切线交χ轴于点T,O为坐标原点,若{PT}=|OT|。试求曲线L的方程。
admin
2019-07-24
47
问题
设曲线L过点(1,1),L上任意一点P(χ,y)处的切线交χ轴于点T,O为坐标原点,若{PT}=|OT|。试求曲线L的方程。
选项
答案
设曲线方程为y=y(χ),则y(1)=1,过点P(χ,y)处的切线方程为 Y-y=y′(X-χ), 则切线与χ轴的交点为T(χ-[*],0)。根据|PT|=|OT|,有 [*] 上式两边同时平方,整理可得y′(χ
2
-y
2
)=2χy,该一阶微分方程为齐次方程,令u=[*],可得[*],两边取积分得 [*] 解得u+[*],将初始条件y(1)=1代入,可得C=[*], 故曲线L的方程为χ
2
-y
2
-2y=0。
解析
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考研数学一
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