具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )

admin2018-11-22 42

问题具有特解y₁=e^-x，y₂=2xe^-x，y₃=3e^x的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )

选项 A、y’’’-y’’-y’+y=0
B、y’’’+y’’-y’-y=0
C、y’’’-6y’’+11y’-6y=0
D、y’’’-2y’’-y’+2y=0

答案B

解析根据题设条件，1，-1是特征方程的两个根，且-1是重根，所以特征方程为(λ-1)(λ+1)²=λ³+λ²-λ-1=0，故所求微分方程为y’’’+y’’-y’-y=0，故选(B)．
或使用待定系数法，具体为：设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是
y’’’+ay’’+by’+cy=0．
由于y₁=e^-x，y₂=2xe^-x，y₃=3e^x是上述方程的解，所以将它们代入方程后得

解得a=1，b=-1，c=-1．
故所求方程为y’’’+y’’-y’-y=0，即选项(B)正确．

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考研数学一

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