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设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成,C取正向(如图10.18). (I)P(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数,证明格林公式的另一种形式: 其中n=(cosαt,cosβ)是C的单位外法向量. (Ⅱ)设u(x,y),v(x,y)在D
设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成,C取正向(如图10.18). (I)P(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数,证明格林公式的另一种形式: 其中n=(cosαt,cosβ)是C的单位外法向量. (Ⅱ)设u(x,y),v(x,y)在D
admin
2018-11-22
75
问题
设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成,C取正向(如图10.18).
(I)P(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数,证明格林公式的另一种形式:
其中n=(cosαt,cosβ)是C的单位外法向量.
(Ⅱ)设u(x,y),v(x,y)在D有连续的二阶偏导数,求证:
(Ⅲ)设u(x,y)在D有连续的二阶偏导数且满足
求证:u(x,y)=0((x,y)∈D).
选项
答案
(I)将格林公式 [*] 中Q换成P,P换成一Q,得 [*] 由第一、二类曲线积分的关系得 ∫
C
Pdy—Qdx=∫
C
[Pcos<τ,j>一Qcos<τ,i>]ds, 其中τ是C的单位切向量且沿C的方向.注意<τ,j>=
, <τ,i>=π一
. 于是 ∫
C
Pdy—Qdx=∫
C
[Pcos
|ds=∫
C
(Pcosα+Qcosβ)ds 因此证得结论. (Ⅱ)由方向导数计算公式得[*] 再由格林公式的另一种形式(即题(I)的结论)得 [*] 再移项即得证. (Ⅲ)因u(x,y)|
C
=0,要证u(x,y)≡0((x,y)∈D),只需证[*]=0((x,y)∈D).取v(x,y)=u(x,y),得 [*]
解析
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考研数学一
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