设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx的正惯性指数为1，又矩阵A满足A2－2A＝3E，则此二次型的规范形是___________．

admin2019-01-24 64

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)＝x^TAx的正惯性指数为1，又矩阵A满足A²－2A＝3E，则此二次型的规范形是___________．

选项

答案 y₁²－y₂²－y₃²

解析由A²－2A＝3E知，A²－2A－3E＝(A－3E)(A＋E)＝O，因A的正惯性指数为1．故A≠－E，A≠3E，因此｜A－3E｜＝0且｜A＋E｜＝0．A有特征值λ₁＝3，λ₂＝－1．
因为A的正惯性指数p＝1，故规范形为y₁²－y₂²－y₃²．
【注】不要和f的标准形相混淆，不要认为规范形为3y₁²－y₂²－y₃²．

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