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设f(x)在闭区间[a,b]上连续,常数k>0.并设 φ(x)=∫xbf(t)dt—k∫axf(t)dt. 证明:(Ⅰ)存在ξ∈[a,b],使φ(ξ)=0; (Ⅱ)若增设条件f(x)≠0,则(Ⅰ)中的ξ是唯一的,且必定有ξ∈(a,b).
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,常数k>0.并设 φ(x)=∫xbf(t)dt—k∫axf(t)dt. 证明:(Ⅰ)存在ξ∈[a,b],使φ(ξ)=0; (Ⅱ)若增设条件f(x)≠0,则(Ⅰ)中的ξ是唯一的,且必定有ξ∈(a,b).
admin
2018-03-30
57
问题
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,常数k>0.并设
φ(x)=∫
x
b
f(t)dt—k∫
a
x
f(t)dt.
证明:(Ⅰ)存在ξ∈[a,b],使φ(ξ)=0;
(Ⅱ)若增设条件f(x)≠0,则(Ⅰ)中的ξ是唯一的,且必定有ξ∈(a,b).
选项
答案
(Ⅰ)φ(a)=∫
a
b
f(t)dt,φ(b)=一k∫
a
b
f(t)dt, φ(a)φ(b)=一k[∫
a
b
f(t)dt]≤0. 如果∫
a
b
f(t)dt=0,则φ(a)φ(b)=0.取ξ=a或ξ=b,使φ(ξ)=0.如果∫
a
b
f(t)dt≠0,则φ(a)φ(b)<0,存在ξ∈(a,b)使φ(ξ)=0.综上,存在ξ∈[a,b]使φ(ξ)=0.证毕. (Ⅱ)若增设条件f(x)≠0,则 φ’(x)=一f(x)一kf(x)=一(k+1)f(x)≠0. 由于f(x)连续且f(x)≠0,所以或者f(x)>0,或者f(x)<0,所以φ(x)在[a,b]上严格单调, 则φ(x)至多有一个零点,又由(Ⅰ)知φ(a)φ(b)<0,则(Ⅰ)中的ξ是唯一的,且ξ∈(a,b).
解析
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考研数学三
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