2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，常数k＞0．并设 φ(x)=∫xbf(t)dt—k∫axf(t)dt． 证明：(Ⅰ)存在ξ∈[a，b]，使φ(ξ)=0； (Ⅱ)若增设条件f(x)≠0，则(Ⅰ)中的ξ是唯一的，且必定有ξ∈(a，b)．

设f(x)在闭区间[a，b]上连续，常数k＞0．并设 φ(x)=∫xbf(t)dt—k∫axf(t)dt． 证明：(Ⅰ)存在ξ∈[a，b]，使φ(ξ)=0； (Ⅱ)若增设条件f(x)≠0，则(Ⅰ)中的ξ是唯一的，且必定有ξ∈(a，b)．

admin2018-03-30  48
问题 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，常数k＞0．并设
    φ(x)=∫xbf(t)dt—k∫axf(t)dt．
证明：(Ⅰ)存在ξ∈[a，b]，使φ(ξ)=0；
(Ⅱ)若增设条件f(x)≠0，则(Ⅰ)中的ξ是唯一的，且必定有ξ∈(a，b)．
选项
答案(Ⅰ)φ(a)=∫abf(t)dt，φ(b)=一k∫abf(t)dt， φ(a)φ(b)=一k[∫abf(t)dt]≤0． 如果∫abf(t)dt=0，则φ(a)φ(b)=0．取ξ=a或ξ=b，使φ(ξ)=0．如果∫abf(t)dt≠0，则φ(a)φ(b)＜0，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0．综上，存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0．证毕． (Ⅱ)若增设条件f(x)≠0，则 φ’(x)=一f(x)一kf(x)=一(k+1)f(x)≠0． 由于f(x)连续且f(x)≠0，所以或者f(x)＞0，或者f(x)＜0，所以φ(x)在[a，b]上严格单调， 则φ(x)至多有一个零点，又由(Ⅰ)知φ(a)φ(b)＜0，则(Ⅰ)中的ξ是唯一的，且ξ∈(a，b)．
解析
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考研数学三

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