设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t-2f(，y)。证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有yf(x，y)dx-xf(x，y)dy=0。

admin2017-01-14 61

问题设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t^-2f(，y)。证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

yf(x，y)dx-xf(x，y)dy=0。

选项

答案在等式f(tx，ty)=t^-2f(x，y)两边对t求导得 xf’₁(tx，ty)+yf’₂(tx，ty)=-2t^-3f(x，y)，令t=1，则 xf’₁(x，y)+xf’₂(x，y)=-2f(x，y)， (*) 设P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=-xf(x，y)，则 [*] 由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 [*]yf(x，y)dx-xf(x，y)dy=0。

解析

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考研数学一

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