(13)矩阵相似的充分必要条件为

admin2018-08-01 27

问题 (13)矩阵

相似的充分必要条件为

选项 A、a=0，b=2．
B、a=0，b为任意常数．
C、a=2，b=0．
D、a=2，b为任意常数．

答案B

解析 B为对角矩阵，B的特征值为其主对角线元素2，6，0．若A与B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知2为A的一个特征值，从而有
0｜2I-A｜=

=-4a²，
由此得a=0，当a=0时，矩阵A的特征多项式为
｜λI-A｜=

=(λ-2)(λ-b)λ，
由此得A的全部特征值为2，b，0．以下可分两种情形：
情形1：若b为任意实数，则A为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时A必相似于B．综上可知，A与B相似的充分必要条件为a=0，b为任意常数．所以只有选项(B)正确．
情形2：若b是任意复数而不是实数，则3阶矩阵A有3个互不相同的特征值，因此A必相似于对角矩阵B．
只有选项(B)正确．

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考研数学二

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