2. 考研
  3. 已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数： D=D(p)= S=S(p)=bp， 其中a＞0，b＞0为常数；价格p是时间t的函数，且满足方程 =k[D(p)一S(p](k为正常数)．1 假设当t=0时，价格为1．试求： (1)需求量等于供给时量时的均衡

已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数： D=D(p)= S=S(p)=bp， 其中a＞0，b＞0为常数；价格p是时间t的函数，且满足方程 =k[D(p)一S(p](k为正常数)．1 假设当t=0时，价格为1．试求： (1)需求量等于供给时量时的均衡

admin2020-04-09  65
问题 已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数：
D=D(p)=
S=S(p)=bp，
其中a＞0，b＞0为常数；价格p是时间t的函数，且满足方程
=k[D(p)一S(p](k为正常数)．1
假设当t=0时，价格为1．试求：
(1)需求量等于供给时量时的均衡价格pe；
(2)价格函数p(t)；
(3)极限
选项
答案(1)令D(p)=S(p)，解得均衡价格pe=[*] [*] 这可化为一阶线性微分方程： [*] 则 p3=e一∫3kbdt(∫e一∫3kbdt3kbpedt+C)=e一3kbdt(e3kbdt．pe+C)． 由t=0时，p=1，得到C=1一pe ，则有 p3(t)=[pe+(1一pe)e一3kbdt]，即 p(t)=[pe+(1一pe)e一3kbdt][*] (3)[*]=pe1/3．
解析 为求价格函数p(t)需解微分方程①．此方程为一阶方程，可按通解公式求其解，然后再求出其极限．
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考研数学三

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