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设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向
设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向
admin
2019-03-12
69
问题
设4维向量组α
1
=(1+a,1,1,1)
T
,α
2
=(2,2+a,2,2)
T
,α
3
=(3,3,3+a,3)
T
,α
4
=(4,4,4,4+a)
T
,问a为何值时,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关?当α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
选项
答案
(1)记A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),则 [*] 那么,当a=0或a=-10时,|A|=0,向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关. 当a=0时,α
1
为向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且 α
2
=2α
1
,α
3
=3α
1
,α
4
=4α
1
. 当a=-10时,对A作初等行变换,有 [*] 由于β
2
,β
3
,β
4
为β
1
,β
2
,β
3
,β
4
的一个极大线性无关组,且β
1
=-β
2
-β
3
-β
4
,所以α
2
,α
3
,α
4
为向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
1
=-α
2
-α
3
-α
4
. (2)记A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),对A作初等行变换,有 [*] 当a=0时,秩r(a)=1,因而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关.此时α
1
是向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
2
=2α
1
,α
3
=3α
1
,α
4
=4α
1
. 当a≠0时,对矩阵B作初等变换有 [*] 如果a≠-10,则秩r(C)=4,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关. 如果a=-10,则秩r(C)=3,从而r(a)=3,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关. 由于γ
2
,γ
3
,γ
4
是γ
1
,γ
2
,γ
3
,γ
4
的一个极大线性无关组且γ
1
=-γ
2
-γ
3
-γ
4
,所以α
2
,α
3
,α
4
是α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
1
=-α
2
-α
3
-α
4
.
解析
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考研数学三
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