2. 考研
  3. 设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

admin2019-03-12  71
问题 设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．
选项
答案(1)记A=(α1，α2，α3，α4)，则 [*] 那么，当a=0或a=-10时，｜A｜=0，向量组α1，α2，α3，α4线性相关． 当a=0时，α1为向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且 α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1． 当a=-10时，对A作初等行变换，有 [*] 由于β2，β3，β4为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β1=-β2-β3-β4，所以α2，α3，α4为向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α1=-α2-α3-α4． (2)记A=(α1，α2，α3，α4)，对A作初等行变换，有 [*] 当a=0时，秩r(a)=1，因而α1，α2，α3，α4线性相关．此时α1是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1． 当a≠0时，对矩阵B作初等变换有 [*] 如果a≠-10，则秩r(C)=4，α1，α2，α3，α4线性无关． 如果a=-10，则秩r(C)=3，从而r(a)=3，α1，α2，α3，α4线性相关． 由于γ2，γ3，γ4是γ1，γ2，γ3，γ4的一个极大线性无关组且γ1=-γ2-γ3-γ4，所以α2，α3，α4是α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α1=-α2-α3-α4．
解析
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考研数学三

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