设f(x)是周期为2的连续函数。证明对任意的实数t,有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx.

admin2022-10-08 87

问题设f(x)是周期为2的连续函数。
证明对任意的实数t,有∫_t^t+2f(x)dx=∫₀²f(x)dx.

选项

答案证法一：由积分的性质知，对任意的实数t， ∫_t^t+2f(x)dx=∫_t⁰f(x)dx+∫₀²f(x)dx+∫_t^t+2f(x)dx 令s=x－2,则有 ∫₀^tf(x)dx=∫₀^tf(s+2)ds=∫₀^tf(s)ds=－∫_t⁰f(x)dx 所以 ∫_t^t+2f(x)dx=∫_t⁰f(x)dx+∫₀²f(x)dx－∫_t⁰f(x)dx=∫₀²f(x)dx 证法二：设F(t)=∫_t^t+2f(x)dx，由于 F’(t)=f(t+2)－f(t)=0 所以F(t)为常数，从而有F(t)=F(0),而F(0)=∫₀²f(x)dx，所以 F(t)=∫₀²f(x)dx,即∫_t^t+2f(x)dx=∫₀²f(x)dx

解析

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