2. 考研
  3. 设f(x)是周期为2的连续函数。 证明对任意的实数t,有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx.

设f(x)是周期为2的连续函数。 证明对任意的实数t,有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx.

admin2022-10-08  80
问题 设f(x)是周期为2的连续函数。
证明对任意的实数t,有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx.
选项
答案证法一： 由积分的性质知，对任意的实数t， ∫tt+2f(x)dx=∫t0f(x)dx+∫02f(x)dx+∫tt+2f(x)dx 令s=x－2,则有 ∫0tf(x)dx=∫0tf(s+2)ds=∫0tf(s)ds=－∫t0f(x)dx 所以 ∫tt+2f(x)dx=∫t0f(x)dx+∫02f(x)dx－∫t0f(x)dx=∫02f(x)dx 证法二： 设F(t)=∫tt+2f(x)dx，由于 F’(t)=f(t+2)－f(t)=0 所以F(t)为常数，从而有F(t)=F(0),而F(0)=∫02f(x)dx，所以 F(t)=∫02f(x)dx,即∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx
解析
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考研数学三

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