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设f(x)是周期为2的连续函数。 证明对任意的实数t,有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx.
设f(x)是周期为2的连续函数。 证明对任意的实数t,有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx.
admin
2022-10-08
100
问题
设f(x)是周期为2的连续函数。
证明对任意的实数t,有∫
t
t+2
f(x)dx=∫
0
2
f(x)dx.
选项
答案
证法一: 由积分的性质知,对任意的实数t, ∫
t
t+2
f(x)dx=∫
t
0
f(x)dx+∫
0
2
f(x)dx+∫
t
t+2
f(x)dx 令s=x-2,则有 ∫
0
t
f(x)dx=∫
0
t
f(s+2)ds=∫
0
t
f(s)ds=-∫
t
0
f(x)dx 所以 ∫
t
t+2
f(x)dx=∫
t
0
f(x)dx+∫
0
2
f(x)dx-∫
t
0
f(x)dx=∫
0
2
f(x)dx 证法二: 设F(t)=∫
t
t+2
f(x)dx,由于 F’(t)=f(t+2)-f(t)=0 所以F(t)为常数,从而有F(t)=F(0),而F(0)=∫
0
2
f(x)dx,所以 F(t)=∫
0
2
f(x)dx,即∫
t
t+2
f(x)dx=∫
0
2
f(x)dx
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/R4R4777K
0
考研数学三
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