设f(x)在(a,b)连续,x1,x2,…,xn∈(a,b),α1,α2,…,αn为任意n个正数,求证:ξ∈(a,b),使得.

admin2017-08-18  51

问题 设f(x)在(a,b)连续,x1,x2,…,xn∈(a,b),α1,α2,…,αn为任意n个正数,求证:ξ∈(a,b),使得

选项

答案依题设n个函数值f(x1),f(x2),…,f(xn)中一定有最小和最大的,不妨设 min{f(x1),…,f(xn)}=f(x1), max{f(x1),…,f(xn)}=f(xn), 则 [*] 记[*],若η=f(x1),则[*]ξ=x1∈(a,b),f(ξ)=η;若η=f(xn), 则[*]ξ=xn∈(a,b),f(ξ)=η. 若f(x1)<η<f(xn),由【定理1.18】,[*]ξ在x1与xn之间,即ν∈(a,b),f(ξ)=η.

解析 只需证明:是f(x)在(a,b)内某两个函数值的中间值.
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