证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．

admin2014-05-20 40

问题证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．

选项

答案设函数F(x)=xsinx+2cosx+πx，则F(x)在[0，π]有连续的二阶导数，且F^’(x)=xcosx-sinx+π，F^’(π)=0， F^’’(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0 (x∈(0，π))．所以F^’(x)在[0，π]单调减少，从而F^’(x)>F^’(π)=0(x∈(0，π))．于是F(x)在[0，π]单调增加，因此当0＜a＜b＜π时，F(b)＞F(a)．即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．

解析

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考研数学一

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设f(x)在[0，2]上二阶可导，且｜f(x)｜≤1，｜f"(x)｜≤2，c∈(1，2)，证明：｜f’(C)｜≤3．
当x→0时，(－1)ln(1+x2)是比xkarctanx高阶的无穷小，而xkarctanx是比（1－)∫0xdt高阶的无穷小，则k的取值范围是（）。
设y=,且f’(x)=arctanx2,求｜x=0=__________.
设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2，已知f(1)=0，求∫12f(x)dx．
不定积分=__________.
设f(x)在[0,1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a,｜f"(x)｜≤b,其中a,b都是非负常数，c为(0,1)内任意一点。写出f(x)在x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式。
(2004年试题，一)设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分一2ydx的值为=____________.
本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数，偶函数在对称区间上积分性质简化计算，本题还用到了华里士公式．[*]

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