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证明:当0<a<b<π时,bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
证明:当0<a<b<π时,bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
admin
2014-05-20
70
问题
证明:当0<a<b<π时,bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
选项
答案
设函数F(x)=xsinx+2cosx+πx,则F(x)在[0,π]有连续的二阶导数, 且F
’
(x)=xcosx-sinx+π,F
’
(π)=0, F
’’
(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0 (x∈(0,π)). 所以F
’
(x)在[0,π]单调减少,从而F
’
(x)>F
’
(π)=0(x∈(0,π)). 于是F(x)在[0,π]单调增加,因此当0<a<b<π时,F(b)>F(a). 即bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
解析
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考研数学一
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