2. 考研
  3. (1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵． (2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

(1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵． (2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

admin2018-11-23  27
问题 (1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．
    (2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．
选项
答案(1)设B和A乘积可交换，要证明B是对角矩阵，即要说明B的对角线外的元素bij(i≠j)都为0． 设A的对角线元素为λ1，λ1，…，λn．则AB的(i，j)位元素为λibij，而BA的(i，j)位元素为λjbij因为AB＝BA，得 λibij＝λjbij 因为λi≠λj，所以bij＝0． (2)先说明C一定是对角矩阵．由于C与对角线上元素两两不相等的n阶对角矩阵乘积可交换，由 (1)的结论得出C是对角矩阵． 再说明C的对角线元素c11，c22，…，cnn都相等． 构造n阶矩阵A，使得其(i，j)位元素为1，i≠j，则 CA的(i，j)位元素为ciiAC的(i，j)位元素为cjj．于是cii＝cjj．这里的i，j是任意的，从而 c11＝c22…cnn．
解析
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考研数学一

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