设平面区域D1={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D2=t(x，y)｜x2+y2≤1}，D3={(x，y)｜≤1}，且I1=｜xy｜dσ，则

admin2018-06-14 27

问题设平面区域D₁={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D₂=t(x，y)｜x²+y²≤1}，D₃={(x，y)｜

≤1}，且I₁=

｜xy｜dσ，则

选项 A、I₁＜I₂＜I₃．
B、I₁＜I₃＜I₂．
C、I₃＜I₁＜I₂．
D、I₃＜I₂＜I₁．

答案C

解析易见三个积分区域D₁，D₂，D₃各自分别关于x轴对称，又各自分别关于y轴对称，记它们各自在第一象限的部分区域为D₁₁，D₂₁，D₃₁．再利用被积函数f(x，y)=｜xy｜分别关于变量x与变量y都是偶函数，从而有

因为三个积分区域D₁₁，D₂₁，D₃₁的左边界都是y轴上的直线段{(x，y)｜x=0，0≤y≤1}，下边界都是x轴上的直线段{(x，y)｜0≤x≤1，y=0}，而D₁₁的上边界是直线段{(x，y)｜0≤x≤1，y=1一x}，D₂₁的上边界是圆弧{(x，y)｜0．≤x≤1，y=

}，D₃₁的上边界是曲线弧{(x，y)}0≤x≤1，y=

+x}．不难发现当0＜x＜1时

即三个积分区域D₁₁，D₂₁与D₃₁的包含关系是D₃₁

D₂₁，如图4．1．从而利用被积函数｜xy｜非负且不恒等于零即知三个二重积分的大小关系应是I₃＜I₁＜I₂，即应选C．

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考研数学三

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