当0＜x＜π/2时，证明：2/πx＜sinx＜x．

admin2021-10-18 39

问题当0＜x＜π/2时，证明：2/πx＜sinx＜x．

选项

答案令f(x)=x-sinx，f(0)=0．f’(x)=1-cosx＞0(0＜x＜π/2)，由[*]得f(x)＞0(0＜x＜π/2)，即当0＜x＜π/2时，sinx＜x；令g(x)=sinx-2/πx，g(0)=0，g(π/2)=0．令g(x)=sinx-2/πx，g(0)=0，g(π/2)=0．由g"(x)=-sinx＜0(0＜x＜π/2)得g(x)在(0，π/2)内为凸函数．由[*]得g(x)＞0(0＜x＜π/2)，即当0＜x＜π/2时，2/π＜x＜sinx，故当0＜x＜π/2时，2/π＜sinx＜x．

解析

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考研数学二

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