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设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成.过z轴上点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径r(z)=的圆面.若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的. (Ⅰ
设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成.过z轴上点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径r(z)=的圆面.若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的. (Ⅰ
admin
2020-02-28
67
问题
设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成.过z轴上
点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径r(z)=
的圆面.若以每秒v
0
体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的.
(Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式,并证明水面高度z与时间t的函数关系:
[z
3
+(z-1)
3
+1]=
;
(Ⅱ)求水表面上升速度最大时的水面高度;
(Ⅲ)求灌满容器所需时间.
选项
答案
(Ⅰ)由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积y(t)之间的关系是 V(t)=∫
0
z(t)
S(z)dz 其中S(z)是水面D(z)的面积,即S(z)=π[z
2
+(1-z)
2
]. 现由[*]=v
0
及z(0)=0,求z(t). 将上式两边对t求导,由复合函数求导法得 [*] 这是可分离变量的一阶微分方程,分离变量得 S(z)dz=v
0
dt,即[z
2
+(1-z)
2
]dz=[*]dt. (*) 两边积分并注意z(0)=0,得 [*][z
3
+(z-1)
3
+1]=[*]. (**) (Ⅱ)求z取何值时[*]取最大值.已求得(*)式即 [*] 因此,求[*]取最大值时z的取值归结为求f(z)=z
2
+(1-z)
2
在[0,1]上的最小值点.由 f′(z)=2χ-2(1-z)=[*] [*]r(z)在z=[*]在[0,1]上取最小值.故z=[*]时水表面上升速度最大. (Ⅲ)归结求容器的体积,即 V=∫
0
1
S(z)dz=π∫
0
1
[z
2
+(1-z)
2
]dχ=[*]π, 因此灌满容器所需时间为[*](秒). 或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t,于是在(**)中令z=1得 [*], 即t=[*](秒).
解析
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考研数学二
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