2. 考研
  3. 设有一容器由平面z＝0，z＝1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)＝的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的． (Ⅰ

设有一容器由平面z＝0，z＝1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)＝的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的． (Ⅰ

admin2020-02-28  71
问题 设有一容器由平面z＝0，z＝1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)＝的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．
    (Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z＝z(t)与相应的水体积V＝V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系：[z3＋(z－1)3＋1]＝；
    (Ⅱ)求水表面上升速度最大时的水面高度；
    (Ⅲ)求灌满容器所需时间．
选项
答案(Ⅰ)由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积y(t)之间的关系是 V(t)＝∫0z(t)S(z)dz 其中S(z)是水面D(z)的面积，即S(z)＝π[z2＋(1－z)2]． 现由[*]＝v0及z(0)＝0，求z(t)． 将上式两边对t求导，由复合函数求导法得 [*] 这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz＝v0dt，即[z2＋(1－z)2]dz＝[*]dt． (*) 两边积分并注意z(0)＝0，得 [*][z3＋(z－1)3＋1]＝[*]． (**) (Ⅱ)求z取何值时[*]取最大值．已求得(*)式即 [*] 因此，求[*]取最大值时z的取值归结为求f(z)＝z2＋(1－z)2在[0，1]上的最小值点．由 f′(z)＝2χ－2(1－z)＝[*] [*]r(z)在z＝[*]在[0，1]上取最小值．故z＝[*]时水表面上升速度最大． (Ⅲ)归结求容器的体积，即 V＝∫01S(z)dz＝π∫01[z2＋(1－z)2]dχ＝[*]π， 因此灌满容器所需时间为[*](秒)． 或由于灌满容器所需时间也就是z＝1时所对应的时间t，于是在(**)中令z＝1得 [*]， 即t＝[*](秒)．
解析
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考研数学二

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