2. 考研
  3. 设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．试证明：对任意:f’(x)都存在，并求f(x)．

设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．试证明：对任意:f’(x)都存在，并求f(x)．

admin2019-07-10  43
问题 设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．试证明：对任意:f’(x)都存在，并求f(x)．
选项
答案将x=y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex两边，得f(0)=0．为证明f’(x)仔在，用定义[*]=f(x)+f’(0)ey=f(x)+aex．说明f’(x)存有，且f’(x)=f(x)+aex．解此一阶线性方程，得[*]又因f(0)=0，所以C=0，得f(x)=axex．
解析
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考研数学二

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