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设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,又设f’(0)存在且等于a(a≠0).试证明:对任意:f’(x)都存在,并求f(x).
设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,又设f’(0)存在且等于a(a≠0).试证明:对任意:f’(x)都存在,并求f(x).
admin
2019-07-10
71
问题
设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
,又设f
’
(0)存在且等于a(a≠0).试证明:对任意:f
’
(x)都存在,并求f(x).
选项
答案
将x=y=0代入f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
两边,得f(0)=0.为证明f
’
(x)仔在,用定义[*]=f(x)+f
’
(0)e
y
=f(x)+ae
x
.说明f
’
(x)存有,且f
’
(x)=f(x)+ae
x
.解此一阶线性方程,得[*]又因f(0)=0,所以C=0,得f(x)=axe
x
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/REN4777K
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考研数学二
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