设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．试证明：对任意:f’(x)都存在，并求f(x)．

admin2019-07-10 85

问题设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，又设f^’(0)存在且等于a(a≠0)．试证明：对任意:f^’(x)都存在，并求f(x)．

选项

答案将x=y=0代入f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x两边，得f(0)=0．为证明f^’(x)仔在，用定义[*]=f(x)+f^’(0)e^y=f(x)+ae^x．说明f^’(x)存有，且f^’(x)=f(x)+ae^x．解此一阶线性方程，得[*]又因f(0)=0，所以C=0，得f(x)=axe^x．

解析

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考研数学二

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