2. 考研
  3. 若f"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内( )

若f"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内( )

admin2018-04-14  57
问题 若f"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内(    )
选项 A、有极值点，无零点。
B、无极值点，有零点。
C、有极值点，有零点。
D、无极值点，无零点。
答案B
解析 由于曲率圆与曲线在一点邻近有相同的凹向，而曲率圆x2+y2=2在点(1，1)邻近是凸的，所以曲线f(x)在点(1，1)邻近也是凸的。又由于f"(x)不变号，所以f(x)是凸函数，即f"(x)＜0，且在点(1，1)处的曲率

曲率圆x2+y2=2两边对x求导，可得2x+2y．y’=0，即y’(1)=－1。由于曲率圆与曲线在一点处有相同的切线和曲率，所以f’(1)=1。由此可得，f"(1)=－2。
在[1，2]上，由于f"(x)＜0，所以f’(x)单调减少，且f’(x)≤f’(1)=－1＜0，即f(x)在[1，2]上没有极值点。
在[1，2]上应用拉格朗日中值定理，可得f(2)－f(1)=f’(ξ)＜－1，ξ∈(1，2)。由于f(1)=1，所以f(2)=f’(ξ)+f(1)＜－1+1=0。由零点定理可知，f(x)在区间(1，2)内有零点。故应选B。
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考研数学二

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