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若f"(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
若f"(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
admin
2018-04-14
51
问题
若f"(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x
2
+y
2
=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
选项
A、有极值点,无零点。
B、无极值点,有零点。
C、有极值点,有零点。
D、无极值点,无零点。
答案
B
解析
由于曲率圆与曲线在一点邻近有相同的凹向,而曲率圆x
2
+y
2
=2在点(1,1)邻近是凸的,所以曲线f(x)在点(1,1)邻近也是凸的。又由于f"(x)不变号,所以f(x)是凸函数,即f"(x)<0,且在点(1,1)处的曲率
曲率圆x
2
+y
2
=2两边对x求导,可得2x+2y.y’=0,即y’(1)=-1。由于曲率圆与曲线在一点处有相同的切线和曲率,所以f’(1)=1。由此可得,f"(1)=-2。
在[1,2]上,由于f"(x)<0,所以f’(x)单调减少,且f’(x)≤f’(1)=-1<0,即f(x)在[1,2]上没有极值点。
在[1,2]上应用拉格朗日中值定理,可得f(2)-f(1)=f’(ξ)<-1,ξ∈(1,2)。由于f(1)=1,所以f(2)=f’(ξ)+f(1)<-1+1=0。由零点定理可知,f(x)在区间(1,2)内有零点。故应选B。
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考研数学二
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