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设向量组α1=(1,1,1,2)T,α2=(3,a+4,2a+5,a+7)T,α3=(4,6,8,10)T,α4=(2,3,2a+3,5)T;β=(0,1,3,6)T,求: a,b满足何种条件时,任意的4维非零列向量ξ均可由α1,α2,α3,α4,β线性
设向量组α1=(1,1,1,2)T,α2=(3,a+4,2a+5,a+7)T,α3=(4,6,8,10)T,α4=(2,3,2a+3,5)T;β=(0,1,3,6)T,求: a,b满足何种条件时,任意的4维非零列向量ξ均可由α1,α2,α3,α4,β线性
admin
2021-04-07
51
问题
设向量组α
1
=(1,1,1,2)
T
,α
2
=(3,a+4,2a+5,a+7)
T
,α
3
=(4,6,8,10)
T
,α
4
=(2,3,2a+3,5)
T
;β=(0,1,3,6)
T
,求:
a,b满足何种条件时,任意的4维非零列向量ξ均可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β线性表示.
选项
答案
若任意的4维非零列向量ξ均可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β线性表示,即 方程组(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)[*]=ξ有解, 也即r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β∣ξ)。 又矩阵(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β∣ξ)的行数为4,所以r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)≤4.若,(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=4,则必有r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β∣ξ)-4=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β),即当a≠1/2,且b≠1时,任意的4维非零列向量ξ均可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/REy4777K
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考研数学二
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