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设f(x)在[a,+∞)上连续,f"(x)在(a,+∞)内存在且大于零,记 证明F(x)在(a,+∞)内单调增加。
设f(x)在[a,+∞)上连续,f"(x)在(a,+∞)内存在且大于零,记 证明F(x)在(a,+∞)内单调增加。
admin
2018-12-27
5
问题
设f(x)在[a,+∞)上连续,f"(x)在(a,+∞)内存在且大于零,记
证明F(x)在(a,+∞)内单调增加。
选项
答案
方法一:由已知有 [*] 令 φ(x)=f’(x)(x-a) -f(x)+f(a),(x>a), 则 φ’(x)=f"(x)(x-a)+f’(x)-f’(x)=(x-a)f"(x)>0(x>a), 由此知φ(x)在(a,+∞)上单调递增,于是φ(x)>φ(a)=0。故 [*] 所以F(x)在(a,+∞)内单调增加。 方法二:由[*] 利用拉格朗日中值定理知 [*] 从而有 [*] 因f"(x)>0知f’(x)在(a,+∞)上单调递增,从而f’(x)>f’(ξ),故在(a,+∞)上F’(x)>0。 因此F(x)在(a,+∞)内单调增加。
解析
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考研数学一
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