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  3. 设f(x)在[a，+∞)上连续，f"(x)在(a，+∞)内存在且大于零，记 证明F(x)在(a，+∞)内单调增加。

设f(x)在[a，+∞)上连续，f"(x)在(a，+∞)内存在且大于零，记 证明F(x)在(a，+∞)内单调增加。

admin2018-12-27  12
问题 设f(x)在[a，+∞)上连续，f"(x)在(a，+∞)内存在且大于零，记
         
    证明F(x)在(a，+∞)内单调增加。
选项
答案方法一：由已知有 [*] 令 φ(x)=f’(x)(x－a) －f(x)+f(a)，(x＞a)， 则 φ’(x)=f"(x)(x－a)+f’(x)-f’(x)=(x－a)f"(x)＞0(x>a)， 由此知φ(x)在(a，+∞)上单调递增，于是φ(x)＞φ(a)=0。故 [*] 所以F(x)在(a，+∞)内单调增加。 方法二：由[*] 利用拉格朗日中值定理知 [*] 从而有 [*] 因f"(x)＞0知f’(x)在(a，+∞)上单调递增，从而f’(x)＞f’(ξ)，故在(a，+∞)上F’(x)＞0。 因此F(x)在(a，+∞)内单调增加。
解析
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考研数学一

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