2. 考研
  3. (I)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa＋lf(x)dx=∫0lf(x)dx。 (Ⅱ)计算∫02πdx。

(I)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa＋lf(x)dx=∫0lf(x)dx。 (Ⅱ)计算∫02πdx。

admin2018-01-30  30
问题 (I)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa＋lf(x)dx=∫0lf(x)dx。
(Ⅱ)计算∫02πdx。
选项
答案(I)证明： 必要性： 设φ(a)=∫aa＋lf(x)dx一∫0lf(x)dx，由题设 φ’(a)=f(a+l)一f(a)=0， 则φ(a)=c(常数)。 设a=0，则c=φ(0)=0，那么∫aa＋lf(x)dx=∫0lf(x)dx。 充分性： 在∫aa＋lf(x)dx=∫0lf(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(a)=0，故f(x)以l为周期。 (Ⅱ)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是 [*] 在上式第2项中作变量替换x=π一t，即可化为第1项，故 [*]
解析
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考研数学二

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