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设A3×3=[α1,α2,α3],方程组Ax=β有通解kξ+η=kE1,2,一3]T+[2,一1,1]T,其中k是任意常数.证明: 方程组(α1,α2)x=β有唯一解,并求该解;
设A3×3=[α1,α2,α3],方程组Ax=β有通解kξ+η=kE1,2,一3]T+[2,一1,1]T,其中k是任意常数.证明: 方程组(α1,α2)x=β有唯一解,并求该解;
admin
2014-04-16
61
问题
设A
3×3
=[α
1
,α
2
,α
3
],方程组Ax=β有通解kξ+η=kE1,2,一3]
T
+[2,一1,1]
T
,其中k是任意常数.证明:
方程组(α
1
,α
2
)x=β有唯一解,并求该解;
选项
答案
由题设条件(α
1
,α
2
,α
3
)x=β有通解k[1,2,一3]
T
+[2,一1,1]
T
,知r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β)=2,(*)α
1
+2α
2
一3α
3
=0,(**)β=(k+2)α
1
+(2k一1)α
2
+(一3k+1)α
3
.(***)其中k是任意常数.(I)由(**)式得[*],知α
1
,α
2
线性无关(若α
1
,α
2
线性相关,又[*];2α
2
),得r(α
1
,α
2
,α
3
)=1,这和关系式(*)矛盾).由(*)式知α
1
,α
2
是向量组α
1
,α
2
,α
3
及α
1
,α
2
,α
3
,β,α
3
,β的极大线性无关组,从而有r(α
1
,α
2
)一r(α
1
,α
2
,β)=2,方程组(α
1
,α
2
)x=β有唯一解.由(***)式取α
3
的系数一3k+1=0,即取[*]得(α
1
,α
2
)x=β的唯一解为[*]即唯一解[*]
解析
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考研数学二
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