设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又B=且AB=O．求正交矩阵Q，使得在正交变换x=QY下二次型化为标准形．

admin2018-05-23 74

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，tr(A)=1，又B=

且AB=O．
求正交矩阵Q，使得在正交变换x=QY下二次型化为标准形．

选项

答案由AB=O得[*]为λ=0的两个线性无关的特征向量，从而λ=0为至少二重特征值，又由tr(A)=1得λ₃=1，即λ₁=λ₂=0，λ₃=1．令λ₃=1对应的特征向量为α₃=[*]，因为A^T=A，所以[*] 解得λ₃=1对应的线性无关的特征向量为α₃=[*]，令[*]，所求的正交矩阵为Q=[*]，且X^TAX[*]y₃²．

解析

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考研数学一

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