设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有( )

admin2020-03-02 56

问题设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：Ax=0和(Ⅱ)：A^TAx=0，必有( )

选项 A、(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．
B、(II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．
C、(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．
D、(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．

答案A

解析若x满足Ax=0，两端左乘A^T，得A^TAx=0，故Ax=0的解都是A^TAx=0的解；若X满足A^TAx=0，两端左乘x^T，得(x^TA^T)(Ax)=0，即(Ax)^T(Ax)=0，或‖Ax‖²=0，得Ax=0，所以A^TAx=0的解也都是Ax=0的解．因此(I)与(Ⅱ)同解，只有选项(A)正确．

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