2. 考研
  3. 设有向量α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，－3a)T，α3=(－1，－b－2，a+2b)T，β=(1，3，－3)T．试讨论当a、b为何值时， (1)β不能由α1，α2，α3线性表示； (2)可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式； (3

设有向量α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，－3a)T，α3=(－1，－b－2，a+2b)T，β=(1，3，－3)T．试讨论当a、b为何值时， (1)β不能由α1，α2，α3线性表示； (2)可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式； (3

admin2018-07-26  57
问题 设有向量α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，－3a)T，α3=(－1，－b－2，a+2b)T，β=(1，3，－3)T．试讨论当a、b为何值时，
(1)β不能由α1，α2，α3线性表示；
(2)可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式；
(3)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式．
选项
答案设有一组数x1，x2，x3，使得 x1α1+x2α2+x3α3=β (*) 对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换： [*] (1)当a=0，b为任意常数时，有 [*] 可知r(A)≠r([*])，故方程组(*)无解，β不能由α1，α2，α3线性表示． (2)当a≠0，且a≠b时，r(A)=r([*])=3，方程组(*)有唯一解：x1=1－[*]，x2=1／a，x3=0．故此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示为：β=(1－[*]α2． (3)当a=b≠0时，对[*]施行初等行变换： [*] 可知r(A)=r([*])=2，故方程组(*)有无穷多解，通解为：x1=1－[*]+C，x3=C，其中C为任意常数．故此时β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为β=(1－[*]+C)α2+Cα3，其中C为任意常数．
解析
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考研数学三

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