设有向量α1=(1,2,0)T,α2=(1,a+2,-3a)T,α3=(-1,-b-2,a+2b)T,β=(1,3,-3)T.试讨论当a、b为何值时, (1)β不能由α1,α2,α3线性表示; (2)可由α1,α2,α3惟一地线性表示,并求出表示式; (3

admin2018-07-26  42

问题 设有向量α1=(1,2,0)T,α2=(1,a+2,-3a)T,α3=(-1,-b-2,a+2b)T,β=(1,3,-3)T.试讨论当a、b为何值时,
(1)β不能由α1,α2,α3线性表示;
(2)可由α1,α2,α3惟一地线性表示,并求出表示式;
(3)β可由α1,α2,α3线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式.

选项

答案设有一组数x1,x2,x3,使得 x1α1+x2α2+x3α3=β (*) 对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换: [*] (1)当a=0,b为任意常数时,有 [*] 可知r(A)≠r([*]),故方程组(*)无解,β不能由α1,α2,α3线性表示. (2)当a≠0,且a≠b时,r(A)=r([*])=3,方程组(*)有唯一解:x1=1-[*],x2=1/a,x3=0.故此时β可由α1,α2,α3唯一地线性表示为:β=(1-[*]α2. (3)当a=b≠0时,对[*]施行初等行变换: [*] 可知r(A)=r([*])=2,故方程组(*)有无穷多解,通解为:x1=1-[*]+C,x3=C,其中C为任意常数.故此时β可由α1,α2,α3线性表示,但表示式不唯一,其表示式为β=(1-[*]+C)α2+Cα3,其中C为任意常数.

解析
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