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  3. 设三元二次型χTAχ经正交变换化为标准形5y12－y22－y32，若Aα＝5α，其中α＝(1，1，1)T，求此二次型的表达式．

设三元二次型χTAχ经正交变换化为标准形5y12－y22－y32，若Aα＝5α，其中α＝(1，1，1)T，求此二次型的表达式．

admin2018-06-12  54
问题 设三元二次型χTAχ经正交变换化为标准形5y12－y22－y32，若Aα＝5α，其中α＝(1，1，1)T，求此二次型的表达式．
选项
答案二次型经正交变换化为标准形5y12－y22－y32，知矩阵A的特征值是5，－1，－1．设λ＝－1的特征向量是β＝(χ1，χ2，χ3)T，由于A是实对称矩阵，故α与β正交，则有 χ1＋χ2＋χ3＝0． 解出β1＝(－1，1，0)T，β2＝(－1，0，1)T． 那么令P＝(α，β1，β2)＝[*] 则P-1AP＝∧＝[*] 于是A＝P∧P-1 [*] 所以χTAχ＝χ12＋χ22＋χ32＋4χ1χ2＋4χ2χ3＋4χ3χ1．
解析
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考研数学一

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