2. 考研
  3. 设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f’’(x)＜0．试证： 若x0∈(a，b)，则对于(a，b)内的任何x，有 f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0)， 当且仅当x=x0时等号成立；

设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f’’(x)＜0．试证： 若x0∈(a，b)，则对于(a，b)内的任何x，有 f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0)， 当且仅当x=x0时等号成立；

admin2016-07-22  104
问题 设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f’’(x)＜0．试证：
若x0∈(a，b)，则对于(a，b)内的任何x，有
    f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0)，
当且仅当x=x0时等号成立；
选项
答案将f(x)在x0点泰勒展开，即 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[*](x-x0)2，ξ在x0与x之间． 由已知f’’(x)＜0，x∈(a，b)得[*](x-x0)2≤0(当且仅当x=x0时等号成立)，于是f(x)≤f(x0)+f’(x0)(x-x0)，即 f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0)(当且仅当x=x0时等号成立)．
解析
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考研数学一

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