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设函数f(x)在(a,b)内存在二阶导数,且f’’(x)<0.试证: 若x0∈(a,b),则对于(a,b)内的任何x,有 f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0), 当且仅当x=x0时等号成立;
设函数f(x)在(a,b)内存在二阶导数,且f’’(x)<0.试证: 若x0∈(a,b),则对于(a,b)内的任何x,有 f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0), 当且仅当x=x0时等号成立;
admin
2016-07-22
120
问题
设函数f(x)在(a,b)内存在二阶导数,且f’’(x)<0.试证:
若x
0
∈(a,b),则对于(a,b)内的任何x,有
f(x
0
)≥f(x)-f’(x
0
)(x-x
0
),
当且仅当x=x
0
时等号成立;
选项
答案
将f(x)在x
0
点泰勒展开,即 f(x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)+[*](x-x
0
)
2
,ξ在x
0
与x之间. 由已知f’’(x)<0,x∈(a,b)得[*](x-x
0
)
2
≤0(当且仅当x=x
0
时等号成立),于是f(x)≤f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
),即 f(x
0
)≥f(x)-f’(x
0
)(x-x
0
)(当且仅当x=x
0
时等号成立).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jcw4777K
0
考研数学一
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