设函数f(x)在(a,b)内存在二阶导数,且f’’(x)<0.试证: 若x0∈(a,b),则对于(a,b)内的任何x,有 f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0), 当且仅当x=x0时等号成立;

admin2016-07-22  76

问题 设函数f(x)在(a,b)内存在二阶导数,且f’’(x)<0.试证:
若x0∈(a,b),则对于(a,b)内的任何x,有
    f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0),
当且仅当x=x0时等号成立;

选项

答案将f(x)在x0点泰勒展开,即 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[*](x-x0)2,ξ在x0与x之间. 由已知f’’(x)<0,x∈(a,b)得[*](x-x0)2≤0(当且仅当x=x0时等号成立),于是f(x)≤f(x0)+f’(x0)(x-x0),即 f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0)(当且仅当x=x0时等号成立).

解析
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