已知连续函数f(x)满足条件f(x)=∫03xdt+e2x,求f(x).

admin2022-10-13 46

问题已知连续函数f(x)满足条件f(x)=∫₀^3x

dt+e^2x,求f(x).

选项

答案两端同时对x求导数，得一阶线性微分方程f’(x)=3f(x)+2e^2x,即 f’(x)－3f(x)=2e^2x 解此方程，得 f(x)=(∫Q(x)e^∫P(x)dxdx+C)e^－∫P(x)dx=(∫2e^2x·e^-3xdx+C)e^3x =(2∫e^-xdx+C)e^3x=(－2e^-x+C)e^3x=Ce^3x－2e^2x 由于f(0)=1，可得C=3,于是f(x)=3e^3x－2e^2x.

解析

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考研数学三

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设A＝E－ααT，其中α为n维非零列向量．证明：(1)A2＝A的充分必要条件是α为单位向量；(2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．
求函数z=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．
设有微分方程y’-2y=φ(x)，其中试求在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．
设直线y＝ax与抛物线y＝x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x＝1所围成的图形面积为S2，且a＜1．(1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
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