已知连续函数f(x)满足条件f(x)=∫03xdt+e2x,求f(x).

admin2022-10-13 59

问题已知连续函数f(x)满足条件f(x)=∫₀^3x

dt+e^2x,求f(x).

选项

答案两端同时对x求导数，得一阶线性微分方程f’(x)=3f(x)+2e^2x,即 f’(x)－3f(x)=2e^2x 解此方程，得 f(x)=(∫Q(x)e^∫P(x)dxdx+C)e^－∫P(x)dx=(∫2e^2x·e^-3xdx+C)e^3x =(2∫e^-xdx+C)e^3x=(－2e^-x+C)e^3x=Ce^3x－2e^2x 由于f(0)=1，可得C=3,于是f(x)=3e^3x－2e^2x.

解析

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考研数学三

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设f(x)与g(x)在区间[0，1]上都是正值的连续函数，且有相同的单调性．试讨论的大小关系．
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设f(x)连续，且满足f(x)+2∫0xf(t)dt=x2+1/2，则关于f(x)的极值问题有()。
设g(x)可导，｜g’(x)｜＜1,且当a≤x≤b时，a＜g(x)＜b,又x+g(x)－2f(x)=0,若{xn}满足xn+1=f(xn),n=0,1,2,…,x0∈[a,b]。证明：存在，并求其值。
已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

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设f(x)＝，且f’(0)存在，求a，b的值．

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