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  3. 设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，且证明： 若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。

设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，且证明： 若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。

admin2018-12-27  48
问题 设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，且证明：
若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。
选项
答案方法一：欲证F(x)是单调减函数，则需证F’(x)＜0或F’(x)≤0且等号仅在某些点成立。 由已知 [*] 则 [*] 因f(x)是单调减函数，t介于0与x之间，所以当x＞0时f(x)－f(t)＜0，故F’(x)＜0；当x＜0时，f(x)－f(t)＞0，故F’(x)＜0；当x=0时，F’(0)=0。 即x∈(－∞，+∞)时，F’(x)≤0且符号仅在x=0时成立，因此F(x)也是单调减函数。 方法二：由[*]则[*] 由积分中值定理知，存在一点ξ∈(0，x)，使得[*]故 F’(x)=xf(x)－f(ξ)x=x[f(x) －f(ξ)]。 与方法一同样讨论可知F(x)是单调减函数。
解析
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考研数学一

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