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  3. 已知P-1AP＝，α1是矩阵A属于特征值λ＝1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ＝5的特征向量，那么矩阵P不能是( )

已知P-1AP＝，α1是矩阵A属于特征值λ＝1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ＝5的特征向量，那么矩阵P不能是( )

admin2019-02-18  28
问题 已知P-1AP＝，α1是矩阵A属于特征值λ＝1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ＝5的特征向量，那么矩阵P不能是(    )
选项 A、(α1，－α2，α3)
B、(α1，α2＋α3，α2－2α3)．
C、(α1，α3，α2)
D、(α1＋α2，α1－α2，α3)．
答案D
解析 若P-1AP＝∧＝，P＝(α1，α2，α3)，则有AP＝P∧．即(Aα1，Aα2，Aα3)＝(a1α1，a2α2，a3α3)．
    可见αi是矩阵A属于特征值αi(i＝1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关．
    若α是属于特征值λ的特征向量，则－α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确．
    若α，β是属于特征值λ的特征向量，则2α＋3β，…仍是属于特征值A的特征向量．本题中，α2，α3是属于λ＝5的线性无关的特征向量，故α2＋α3，α2－2α3仍是λ＝5的特征向量，并且α2＋α3，α2－α3线性无关，故选项B正确．
    对于选项C，因为α2，α3均是λ＝5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确．故选项C正确．
    由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1＋α2，α1－α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误．所以应选D．
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考研数学一

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