2. 考研
  3. [2016年] 已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_________．

[2016年] 已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_________．

admin2021-01-19  56
问题 [2016年]  已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_________．
选项
答案 用递推归纳法求之，为此先求出f(x)在x=0处的一阶、二阶、三阶导数，再递推归纳出规律性写出f(n)(0)． 由f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt得f＇(x)=2(x+1)+2f(x)， f″(x)=2+2f′(x)，f′″(x)=2f″(x)，f(4)(x)=2f′″(x)=2·2f″(x)=22f″(x)， f(5)(x)=[f(4)(x)]′=22[f″(x)]′=22f′″(x)=23f″(x)，…，f(n)(x)=2n-2f″(x)， 故f(0)=1，f′(0)=2+2=4，f″(0)=10，…，f(n)(0)一2n-2f″(0)=2n-2·10=5·2n-1．
解析
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考研数学二

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