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[2016年] 已知函数f(x)在(一∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt,则当n≥2时,f(n)(0)=_________.
[2016年] 已知函数f(x)在(一∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt,则当n≥2时,f(n)(0)=_________.
admin
2021-01-19
49
问题
[2016年] 已知函数f(x)在(一∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)
2
+2∫
0
x
f(t)dt,则当n≥2时,f
(n)
(0)=_________.
选项
答案
用递推归纳法求之,为此先求出f(x)在x=0处的一阶、二阶、三阶导数,再递推归纳出规律性写出f
(n)
(0). 由f(x)=(x+1)
2
+2∫
0
x
f(t)dt得f'(x)=2(x+1)+2f(x), f″(x)=2+2f′(x),f′″(x)=2f″(x),f
(4)
(x)=2f′″(x)=2·2f″(x)=2
2
f″(x), f
(5)
(x)=[f
(4)
(x)]′=2
2
[f″(x)]′=2
2
f′″(x)=2
3
f″(x),…,f
(n)
(x)=2
n-2
f″(x), 故f(0)=1,f′(0)=2+2=4,f″(0)=10,…,f
(n)
(0)一2
n-2
f″(0)=2
n-2
·10=5·2
n-1
.
解析
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0
考研数学二
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