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(2009年)设曲线Y=f(x),其中f(x)是可导函数,且f(x)>0.已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线的方程.
(2009年)设曲线Y=f(x),其中f(x)是可导函数,且f(x)>0.已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线的方程.
admin
2021-01-25
51
问题
(2009年)设曲线Y=f(x),其中f(x)是可导函数,且f(x)>0.已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线的方程.
选项
答案
由题设可知旋转体体积为 V=π∫
1
t
f
2
(x)如 曲边梯形的面积为 S=∫
1
t
f(x)dx 由题设可知,π∫
1
t
f
2
(x)dx=πt∫
1
t
f(x)dx 即 ∫
1
t
f
2
(x)dx=t∫
1
t
f(x)dx 上式两端对t求导得 f
2
(t)=∫
1
t
f(x)dx+tf(t) (*) 继续求导得 2f(t)f’(t)=f(t)+f(t)+tf’(t) [*] 在(*)式中令t=1得f
2
(1)=f(1),即f(1)=1或f(1)=0.而由题设知f(t)>1,则f(1)=1,代入 [*] 则所求曲线方程为 [*]
解析
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考研数学三
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