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设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f’(a)=f’(b)=0,证明存在ξ∈(a,b),使
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f’(a)=f’(b)=0,证明存在ξ∈(a,b),使
admin
2021-07-15
42
问题
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f’(a)=f’(b)=0,证明存在ξ∈(a,b),使
选项
答案
将f(x)在x=a,x=b处展开为泰勒公式,有 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+[*](x-a)
2
=f(a)+[*](x-a)
2
(a<ξ
1
<x) ① 同理有f(x)=f(b)+[*](x-b)
2
(x<ξ
2
<b) ② 令x=[*],②—①得0=f(b)-f(a)+[*][f"(ξ
2
)-f"(ξ
1
)],得 [*]|f”(ξ
2
)-f”(ξ
1
)|≤[*]|f”(ξ
1
)|+|f"(ξ
2
)|]. 令|f”(ξ)|=max{|f"(ξ
1
)|·|f"(ξ
2
)|},ξ∈(a,b),则 [*][|f”(ξ
1
)|+|f"(ξ
2
)|≤[*]×2×|f"(ξ)|=|f"(ξ)|,故原命题得证。
解析
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考研数学二
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