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  3. 设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0,证明存在ξ∈（a,b),使

设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0,证明存在ξ∈（a,b),使

admin2021-07-15  43
问题 设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0,证明存在ξ∈（a,b),使
选项
答案将f(x)在x=a，x=b处展开为泰勒公式，有 f(x)=f(a)+f’(a)(x－a)+[*](x－a)2 =f(a)+[*](x－a)2(a＜ξ1＜x) ① 同理有f(x)=f(b)+[*](x－b)2(x＜ξ2＜b) ② 令x=[*],②—①得0=f(b)－f(a）+[*][f"(ξ2)－f"(ξ1)],得 [*]｜f”(ξ2)－f”（ξ1）｜≤[*]｜f”（ξ1）｜+｜f"(ξ2)｜]. 令｜f”(ξ)｜=max{｜f"(ξ1)｜·｜f"(ξ2)｜},ξ∈(a,b),则 [*][｜f”（ξ1）｜+｜f"(ξ2)｜≤[*]×2×｜f"(ξ)｜=｜f"(ξ)｜,故原命题得证。
解析
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考研数学二

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