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(1)设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.证明AB和BA有相同的特征值,且AB~BA; (2)对一般的n阶矩阵A,B,证明AB和BA有相同的特征值,并请同是否必有AB~BA?说明理由.
(1)设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.证明AB和BA有相同的特征值,且AB~BA; (2)对一般的n阶矩阵A,B,证明AB和BA有相同的特征值,并请同是否必有AB~BA?说明理由.
admin
2018-07-23
45
问题
(1)设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.证明AB和BA有相同的特征值,且AB~BA;
(2)对一般的n阶矩阵A,B,证明AB和BA有相同的特征值,并请同是否必有AB~BA?说明理由.
选项
答案
(1)因为A有n个互不相同的非零特征值λ=1,2,…n,|A|=n!≠0,故A为可逆矩阵,从而有 |λE-AB|=|A(λA
-1
-B)|=|A(λE-BA)A
-1
| =|A||λE-BA||A
-1
|=|λE-BA| 即AB和BA有相同的特征多项式.故有相同的特征值. 又若取可逆矩阵P=A,则有P
-1
ABP=A
-1
ABA=BA,故有AB~BA. (2)若AB有特征值λ=0,则|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|=0.故BA也有特征值λ=0. 若AB有特征值λ≠0,按定义,有 ABξ=λξ(ξ≠0), 其中ξ是AB的对应特征值λ的特征向量. 用B左乘上式两端,得 BABξ=λBξ, 即 BA(Bξ)= λ(Bξ), 其中Bξ≠0(若Bξ=0,则有ABξ=λξ0.因ξ≠0,得λ=0,这和λ≠0矛盾).BA也有非零特征值λ,对应的特征向量为Bξ. 故AB和BA有相同的特征值. 一般AB与BA不相似.例如, [*] 显然 r(AB)=0,r(BA)=1, 故AB与BA不相似.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Rsj4777K
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考研数学二
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