2. 考研
  3. (1)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明AB和BA有相同的特征值，且AB~BA； (2)对一般的n阶矩阵A，B，证明AB和BA有相同的特征值，并请同是否必有AB~BA?说明理由．

(1)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明AB和BA有相同的特征值，且AB~BA； (2)对一般的n阶矩阵A，B，证明AB和BA有相同的特征值，并请同是否必有AB~BA?说明理由．

admin2018-07-23  73
问题 (1)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明AB和BA有相同的特征值，且AB~BA；
(2)对一般的n阶矩阵A，B，证明AB和BA有相同的特征值，并请同是否必有AB~BA?说明理由．
选项
答案 (1)因为A有n个互不相同的非零特征值λ=1，2，…n，|A|=n!≠0，故A为可逆矩阵，从而有 |λE－AB|=|A(λA－1－B)|=|A(λE－BA)A－1| =|A||λE－BA||A－1|=|λE－BA| 即AB和BA有相同的特征多项式．故有相同的特征值． 又若取可逆矩阵P=A，则有P－1ABP=A－1ABA=BA，故有AB~BA． (2)若AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|=0．故BA也有特征值λ=0． 若AB有特征值λ≠0，按定义，有 ABξ=λξ(ξ≠0)， 其中ξ是AB的对应特征值λ的特征向量． 用B左乘上式两端，得 BABξ=λBξ， 即 BA(Bξ)= λ(Bξ)， 其中Bξ≠0(若Bξ=0，则有ABξ=λξ0．因ξ≠0，得λ=0，这和λ≠0矛盾)．BA也有非零特征值λ，对应的特征向量为Bξ． 故AB和BA有相同的特征值． 一般AB与BA不相似．例如， [*] 显然 r(AB)=0，r(BA)=1， 故AB与BA不相似．
解析
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考研数学二

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