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设A,B为同阶方阵, (Ⅰ)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等. (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立. (Ⅲ)当A,B均为实对称矩阵时,试证(Ⅰ)的逆命题成立.
设A,B为同阶方阵, (Ⅰ)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等. (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立. (Ⅲ)当A,B均为实对称矩阵时,试证(Ⅰ)的逆命题成立.
admin
2014-07-22
101
问题
设A,B为同阶方阵,
(Ⅰ)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等.
(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立.
(Ⅲ)当A,B均为实对称矩阵时,试证(Ⅰ)的逆命题成立.
选项
答案
(I)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=B,故 |λE-Bl|=|λE-P
-1
AP
-1
|=|P
-1
λEP-P
-1
AP| =|P
-1
(AE-A)P|=|P
-1
||λE-A||P|=|λE-A|. (Ⅱ)令A=[*],B=[*],那么|λE-A|=λ
2
=|λE-B|. 但A,B不相似,否则,存在否逆矩阵P,使P
-1
AP=B=0.从而A=POP
-1
=0,矛 盾,亦可从r(A)=1,r(B)=0而知A与B不相似. (Ⅲ)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵.若A,B的特征多项式相等, 记特征多项式的根为λ
1
,…,λ
n
,则有A相似于[*],B也相似于[*] 即存在可逆矩阵P,Q使P
-1
AP=[*]=Q
-1
BQ. 于是(PQ
-1
)
-1
A(PQ
-1
)=B.由PQ
-1
为可逆矩阵知,A与B相似.
解析
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考研数学二
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