2. 考研
  3. 设A，B为同阶方阵， (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均为实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

设A，B为同阶方阵， (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均为实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

admin2014-07-22  43
问题 设A，B为同阶方阵，
  (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
  (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立．
  (Ⅲ)当A，B均为实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．
选项
答案(I)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，故 ｜λE-Bl｜=｜λE-P-1AP-1｜=｜P-1λEP-P-1AP｜ =｜P-1(AE-A)P｜=｜P-1｜｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜． (Ⅱ)令A=[*]，B=[*]，那么｜λE-A｜=λ2=｜λE-B｜． 但A，B不相似，否则，存在否逆矩阵P，使P-1AP=B=0．从而A=POP-1=0，矛 盾，亦可从r(A)=1，r(B)=0而知A与B不相似． (Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等， 记特征多项式的根为λ1，…，λn，则有A相似于[*]，B也相似于[*] 即存在可逆矩阵P，Q使P-1AP=[*]=Q-1BQ． 于是(PQ-1)-1A(PQ-1)=B．由PQ-1为可逆矩阵知，A与B相似．
解析
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考研数学二

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