在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数: (Ⅰ)f(x)=tanx(x3); (Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3).

admin2018-08-12  31

问题 在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数:
(Ⅰ)f(x)=tanx(x3);
(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3).

选项

答案(Ⅰ)设tanx=A+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx为奇函数,A0=0,A2=0),又tanx=[*],则 [A1x+A3x3+o(x3)][1-[*]x2+o(x3)]=x-[*]x3+o(x3), 即A1x+(A3-[*]A1)x3+o(x3)=x-[*]x3+o(x3). 比较系数可得A1=1,A3-[*]A1=[*]A1=1,A3=[*] 因此tanx=x+[*]x3+o(x3). (Ⅱ)已知sinu=u-[*]a3+o(u3)(u→0),令u=sinx[*]sin(sinx)=sinx-[*]sin3x+(sin3x). 再将sinx=x-[*]x3+o(x3),代入得 sin(sinx)=[*]x3+o(x3)=x-[*]x3+o(x3).

解析
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