设A为3阶方阵，如果A-1的特征值是1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11+A22+A33= ．

admin2019-08-27 57

问题设A为3阶方阵，如果A^-1的特征值是1，2，3，则｜A｜的代数余子式A₁₁+A₂₂+A₃₃= ．

选项

答案1

解析【思路探索】注意到A₁₁+A₂₂+A₃₃恰为伴随矩阵A^*的主对角线元素之和，即A^*的迹，再由结论：方阵的迹等于特征值的和，只需求出A^*的特征值即可．
因为A^-1的特征值为1，2，3，所以｜A^-1｜=1×2 ×3=6，从而｜A｜=1/6．又因为AA^*=｜A｜E=1/6E，所以A^*=1/6A^-1．故A^*的特征值为1/6，1/3，1/2．所以A₁₁+A₂₂+A₃₃=1/6+1/3+1/2=1．故应填1．
【错例分析】本题有两个常见错误．一是没能应用结论：方阵的迹等于特征值之和，从而不能找到正确的解题思路；二是有关伴随矩阵的定义和公式不够熟练，导致错误．

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考研数学二

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设A，B为同阶方阵。举一个二阶方阵的例子说明第一小题的逆命题不成立；

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