2. 考研
  3. 已知A＝(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Aχ＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T． (Ⅰ)令B＝(α1，α2，α3)，求Bχ＝b的通解； (Ⅱ)令C＝(α1，α2，α3，α4，b

已知A＝(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Aχ＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T． (Ⅰ)令B＝(α1，α2，α3)，求Bχ＝b的通解； (Ⅱ)令C＝(α1，α2，α3，α4，b

admin2017-11-09  33
问题 已知A＝(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Aχ＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T．
    (Ⅰ)令B＝(α1，α2，α3)，求Bχ＝b的通解；
    (Ⅱ)令C＝(α1，α2，α3，α4，b)，求Cχ＝b的通解．
选项
答案(Ⅰ)先求Bχ＝0的基础解系，为此，首先要找出矩阵B的秩． 由题目的已知信息可知：Aχ＝0的基础解系中含有两个向量，故4－R(A)＝2，即R(A)＝2，而由(1，0，2，1)T是Aχ＝0的解，可得α1＋2α3＋α4＝0，故α4＝－α1－2α3．可知α4能由α1，α2，α3线性表示，故 R(α1，α2，α3，α4)＝R(α1，α2，α3)＝R(B)，即R(B)＝2． 因此，Bχ＝0的基础解系中仅含一个向量，求出Bχ＝0的任一非零解即为其基础解系． 由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，－1)T均为Aχ＝0的解，故它们的和(3，1，3，0)T也为Aχ＝0的解， 可知3α1＋α2＋3α3＝0，因此(3，1，3)T为Bχ＝0的解，也即(3，1，3)T为Bχ＝0的基础解系． 最后，再求Bχ＝b的任何一个特解即可．只需使得Aχ＝b的通解中α1的系数为0即可． 为此，令(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T中k1＝0，k2＝1，得(3，2，2，0)T是Aχ＝b的一个解，故(3，2，2)T是Bχ＝b的一个解． 可知Bχ＝b的通解为(3，2，2)T＋k(3，1，3)T，k∈R． (Ⅱ)与(Ⅰ)类似，先求Cχ＝0的基础解系． 由于C即为线性方程组Aχ＝b的增广矩阵，故R(C)＝R(A)＝2，可知Cχ＝0的基础解系中含有5－2＝3个线性无关的解向量，为此，需要找出Cχ＝0的三个线性无关的解． 由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，－1)T均为Aχ＝0的解，可知(1，0，2，1，0)T，(2，1，1－1，0)T均为Cχ＝0的解．而(1，1，1，1)T为Aχ＝b的解，可知α1＋α2＋α3＋α4＝b，也即α1＋α2＋α3＋α4－b＝0，故(1，1，1，1，－1)T也为Cχ＝0的解． 这样，我们就找到了Cχ＝0的三个解：(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，－1，0)T，(1，1，l，1，－1)T，容易验证它们是线性无关的，故它们即为Cχ＝0的基础解系． 最后，易知(0，0，0，0，1)T为Cχ＝b的解，故Cχ＝b的通解为 (0，0，0．0，1)T＋k1(1，0，2，1，0)T＋k2(2，1，1，－1，0)T＋k3(1，1，1．1，－1)T，ki∈R，i＝1，2，3．
解析
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考研数学三

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