2. 考研
  3. 设z=z（x，y）是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0确定的函数，求z=z（x，y）的极值点和极值．

设z=z（x，y）是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0确定的函数，求z=z（x，y）的极值点和极值．

admin2020-07-02  68
问题 设z=z（x，y）是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0确定的函数，求z=z（x，y）的极值点和极值．
选项
答案利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18xdx— 54(ydx+xdy)+180ydy— 6zdy— 6ydz— 2zdz=0， 即 （18x— 54y)dx+(180y— 54x— 62)dy— (6y+2z)dz=0． 从而 [*] 为求隐函数z= z(x，y)的驻点，应解方程组 [*] ②可化简为x= 3y，由③可得z=30y— 9x=3y，代入①可解得两个驻点x=3，y=1，z=3与x=—3，y=—1，z=—3． 为判定z= z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z（z，y）在这两点的二阶偏导数： [*] 记P=(3，1，3)， Q=（—3，—1，—3），即可得出在P点处 [*] 故在点(3，1)处z=z（x，y）取得极小值z(3，1) =3． 类似可知在Q点处 [*] 故在点（—3，—1）处z=z（x，y）取得极大值z（—3，一1）=—3．
解析
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考研数学三

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