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设z=z(x,y)是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.
设z=z(x,y)是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.
admin
2020-07-02
73
问题
设z=z(x,y)是由9x
2
—54xy+90y
2
—6yz—z
2
+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.
选项
答案
利用一阶全微分形式不变性,将方程求全微分即得 18xdx— 54(ydx+xdy)+180ydy— 6zdy— 6ydz— 2zdz=0, 即 (18x— 54y)dx+(180y— 54x— 62)dy— (6y+2z)dz=0. 从而 [*] 为求隐函数z= z(x,y)的驻点,应解方程组 [*] ②可化简为x= 3y,由③可得z=30y— 9x=3y,代入①可解得两个驻点x=3,y=1,z=3与x=—3,y=—1,z=—3. 为判定z= z(x,y)在两个驻点处是否取得极值,还需求z=z(z,y)在这两点的二阶偏导数: [*] 记P=(3,1,3), Q=(—3,—1,—3),即可得出在P点处 [*] 故在点(3,1)处z=z(x,y)取得极小值z(3,1) =3. 类似可知在Q点处 [*] 故在点(—3,—1)处z=z(x,y)取得极大值z(—3,一1)=—3.
解析
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考研数学三
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