设an收敛，举例说明级数a2n不一定收敛；若an是正项收敛级数，证明：a2n一定收敛．

admin2019-11-25 21

问题设

a_n收敛，举例说明级数

a²_n不一定收敛；若

a_n是正项收敛级数，证明：

a²_n一定收敛．

选项

答案令a_n＝[*]，由交错级数的Leibniz审敛法，级数[*]收敛，而[*]²＝[*]发散，设[*]a_n是正项收敛级数，则[*]a_n＝0，ε₀＝1，存在自然数N，当n＞N时，｜a_n－0｜＜1，从而0≤a_n＜1，当n＞N时，有0≤a²_n＜a_{n＜1．
由[*]a_n收敛得[*]a_n收敛，再由比较审敛法得[*]a²_n收敛，所以[*]a²_n收敛．}

解析

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