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任一n维向量均可由n维向量组A:α1,α2,…,αn线性表示的充要条件是n维单位坐标向量组B:e1,e2,…,en可由A线性表示.
任一n维向量均可由n维向量组A:α1,α2,…,αn线性表示的充要条件是n维单位坐标向量组B:e1,e2,…,en可由A线性表示.
admin
2020-09-25
46
问题
任一n维向量均可由n维向量组A:α
1
,α
2
,…,α
n
线性表示的充要条件是n维单位坐标向量组B:e
1
,e
2
,…,e
n
可由A线性表示.
选项
答案
必要性[*]:因为任一n维向量均可由向量组A线性表示,所以向量组B中任一向量e
i
(i=1,2,…,n)均可由向量组A线性表示,故向量组B可由向量组A线性表示. 充分性[*]:设A=(α
1
,α
2
,…,α
n
),B=(e
1
,e
2
,…,e
n
),则R(B)=n. 又向量组B可由向量组A线性表示,所以R(A)≥R(B)=n. 又因为R(A)≤矩阵A的列数=n,所以R(A)=n. 于是对于任一n维向量卢,有n=R(A)≤R(A,β)≤矩阵(A,β)的行数n, 故R(A)=R(A,β)=n.所以向量β能由向量组A线性表示.
解析
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考研数学三
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