任一n维向量均可由n维向量组A：α1，α2，…，αn线性表示的充要条件是n维单位坐标向量组B：e1，e2，…，en可由A线性表示．

admin2020-09-25 77

问题任一n维向量均可由n维向量组A：α₁，α₂，…，α_n线性表示的充要条件是n维单位坐标向量组B：e₁，e₂，…，e_n可由A线性表示．

选项

答案必要性[*]：因为任一n维向量均可由向量组A线性表示，所以向量组B中任一向量e_i(i=1，2，…，n)均可由向量组A线性表示，故向量组B可由向量组A线性表示．充分性[*]：设A=(α₁，α₂，…，α_n)，B=(e₁，e₂，…，e_n)，则R(B)=n．又向量组B可由向量组A线性表示，所以R(A)≥R(B)=n．又因为R(A)≤矩阵A的列数=n，所以R(A)=n．于是对于任一n维向量卢，有n=R(A)≤R(A，β)≤矩阵(A，β)的行数n，故R(A)=R(A，β)=n．所以向量β能由向量组A线性表示．

解析

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考研数学三

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