2. 考研
  3. (98年)设向量α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ＝0．记n阶矩阵A＝αβT． 求：(1)A2； (2)矩阵A的特征值和特征向量．

(98年)设向量α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ＝0．记n阶矩阵A＝αβT． 求：(1)A2； (2)矩阵A的特征值和特征向量．

admin2019-03-19  86
问题 (98年)设向量α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ＝0．记n阶矩阵A＝αβT．
    求：(1)A2；
    (2)矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案(1)由αTβ＝0，有βTα＝0．由A＝αβT，有 A2＝AA＝(αβT)(αβT)＝α(βTα)βT＝(βTα)(αβT)＝O 即A2为n阶零矩阵． (2)设λ为A的任一特征值，χ(≠0)为对应的特征向量，则Aχ＝λχ，两端左乘A，得A2χ＝λAχ＝λ2χ，因为A2＝O，所以λ2χ＝0，又χ≠0，故λ＝0．即矩阵A的特征值全为零． 不妨设向量α，β中分量a1≠0，b1≠0，对齐次方程组(0E－A)χ＝0的系数矩阵施行初等行变换： [*] 由此可得方程组(OE－A)χ＝0的基础解系为： α1＝(－[*]，1，0，…，0)T，α2＝(－[*]，0，1，…，0)T，…，αn-1＝(－[*]，0，0，…，1)T 于是，A的属于特征值λ＝0的全部特征向量为： c1α1＋c2α2＋…＋cn-1αn-1(c1，c2，…，cn-1是不全为零的任意常数)．
解析
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考研数学三

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