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(98年)设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT. 求:(1)A2; (2)矩阵A的特征值和特征向量.
(98年)设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT. 求:(1)A2; (2)矩阵A的特征值和特征向量.
admin
2019-03-19
127
问题
(98年)设向量α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
,β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
都是非零向量,且满足条件α
T
β=0.记n阶矩阵A=αβ
T
.
求:(1)A
2
;
(2)矩阵A的特征值和特征向量.
选项
答案
(1)由α
T
β=0,有β
T
α=0.由A=αβ
T
,有 A
2
=AA=(αβ
T
)(αβ
T
)=α(β
T
α)β
T
=(β
T
α)(αβ
T
)=O 即A
2
为n阶零矩阵. (2)设λ为A的任一特征值,χ(≠0)为对应的特征向量,则Aχ=λχ,两端左乘A,得A
2
χ=λAχ=λ
2
χ,因为A
2
=O,所以λ
2
χ=0,又χ≠0,故λ=0.即矩阵A的特征值全为零. 不妨设向量α,β中分量a
1
≠0,b
1
≠0,对齐次方程组(0E-A)χ=0的系数矩阵施行初等行变换: [*] 由此可得方程组(OE-A)χ=0的基础解系为: α
1
=(-[*],1,0,…,0)
T
,α
2
=(-[*],0,1,…,0)
T
,…,α
n-1
=(-[*],0,0,…,1)
T
于是,A的属于特征值λ=0的全部特征向量为: c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
n-1
α
n-1
(c
1
,c
2
,…,c
n-1
是不全为零的任意常数).
解析
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考研数学三
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